阿基米德经典例题解题技巧（阿基米德夹逼准则）

“接下来我们来讲一讲夹逼准则”，话音刚落，沉浸在睡梦中的同桌突然惊起，接下来如同多米诺骨牌那样，睡着的同学都醒来了。大家议论纷纷。

“什么？夹逼？我没听错吧！”男生们露出了史上最纯洁的笑容，女生们脸红耳赤，相信耳听为虚，眼见为实，可是她们都希望在课本上眼见的不一定为实。

好了，夹逼准则是怎么来的呢？是谁给他起个这么污的名字？

夹逼准则是阿基米德（Archimedes）和欧多克索斯（Eudoxus）用来计算圆周率π，后来经高斯发展成现在的定理形式。除了夹逼准则和三明治定理外，它还有许多叫法：两边夹定理、夹挤定理、迫敛法、两个警察和醉囚犯定理等，其中夹挤定理应该是最接近它的英文名字了（Squeeze Theorem）。

通过圆内外接正多边形的方法求解π（夹逼准则的思想）：

其它不规则图形也可以通过多边形去内外夹逼：

夹逼的关键在于如何降低误差，阿基米德的思路是不断增加顶点数，使得折线多边形不断接近曲线图形。

如下图，对于曲线下面的面积，也可以应用阿基米德的夹逼准则。

曲线下面积的黎曼积分表示是：

符号∫是“求和”（sum）的首字母“S”的拉长；

(a,b)表示求和的区间；

f(x)你可以理解为横坐标取x时，纵坐标值f(x)对应某个长方形的高；

dx是指“求差”（difference），你可以理解为某个长方形的底长；

上式整体包含着这一套符号的使用者莱布尼茨的想法：“积分是指在x=a到b的区间上排列出高等于f(x)、底为dx的长方形，并求出它们的面积之和“。

上面的表达式是一个定值，如果b用x表示，则定值就变成了一个函数：

17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独自发现了F(x)与f(x)的互为逆运算的关系：F(x) = f(x)

上式就是微积分基本公式，也称为牛顿－莱布尼茨公式

－End－

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