第二次函数压轴题解题方法（郑州一模填空压轴题惊现双曲余弦函数）

上一篇我们说的是郑州一模的导数压轴大题，今天我们来看一下填空中的导数压轴，那可是出现了双曲余弦函数的影子，在求导的过程中。

16·已知函数f(x)＝e²ˣ－e⁻²ˣ－ax，若f(x)有两个不同的极值点x₁、x₂，且0＜x₂－x₁＜㏑2，则a的取值范围为____。

分析：

本题难的不是函数f(x)＝e²ˣ－e⁻²ˣ－ax的复杂程度，而是“f(x)有两个不同的极值点x₁、x₂”这句话，让很多人走上了极值点偏移的不归路，其实不是，若有f(x₁)＝f(x₂)的便是！

事实上，“f(x)有两个不同的极值点x₁、x₂”，这句话的意思是告诉我们，函数f(x)的导函数有两个不同的零点，仍然是零点问题。

可喜的是，在对f(x)的求导过程中，惊现了双曲余弦函数的影子！

有fˊ(x)＝2e²ˣ＋2e⁻²ˣ－a，令其为0，

则有e²ˣ＋e⁻²ˣ＝a／2。

若g(x)=e²ˣ＋e⁻²ˣ，（g(x)／2就是双曲余弦函数），即g(x)＝a／2。

此时，风向变了，问题可以转化为，直线y＝a／2与函数g(x)相交且有两个不同的交点，即g(x₁)=g(x₂)。

还是对g(x)=e²ˣ＋e⁻²ˣ求个导吧！

易知，gˊ(x)=2e²ˣ－2e⁻²ˣ，

显然，gˊ(0)＝0，从而g(x)在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增。

又g(0)＝2，故g(x)的图象大致如下：

所以，有

g(x₁)=e²ˣ¹＋e⁻²ˣ¹＝a／2 ……①

g(x₂)=e²ˣ²＋e⁻²ˣ²＝a／2 ……②

①、②可联立方程组，对这个方程组的处理是有些技巧的，目的就是消参，化繁为简的！

①÷②，（左÷左，右÷右），化简后得

e²ˣ¹＋e⁻²ˣ¹＝e²ˣ²＋e⁻²ˣ²，

e²ˣ¹－e²ˣ²＝e⁻²ˣ²－e⁻²ˣ¹，

利用平方差公式来进一步优化，得

（eˣ¹＋eˣ²）（eˣ¹－eˣ²）＝（e⁻ˣ²＋e⁻ˣ¹）（e⁻ˣ²－e⁻ˣ¹），

（eˣ¹＋eˣ²）（eˣ¹－eˣ²）＝（1／eˣ²＋1／eˣ¹）（1／eˣ²－1／eˣ¹），

右边各自通分后再化简，得

（eˣ¹eˣ²）²＝1，即eˣ¹eˣ²＝1，

故有x₁＋x₂＝0，即x₁＝－x₂。

结合已知条件：0＜x₂－x₁＜㏑2，有

0＜2x₂＜㏑2，即0＜x₂＜㏑2／2。

因此，有g(0)＝2，g(㏑2／2)＝5／2，

则有g(0)＜g(x₂)＜g(㏑2／2)，

即2＜a／2＜5／2，

故4＜a＜5。

这就是整个解题思路，是不是有点不可思议呢，既化参的又消元的？

有没有更简单的方法呢？

是的，的确如此！

因为，这道题是做为填空题的，尽管压轴，也绝不会这般繁杂，一定会有更简单的。

事实上，该问题等价于导函数有两个不同的零点，因导函数是偶函数，有x₁＝－x₂，数形结合，求临界情况时的a值即可。

是不是要妙杀呢？

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