阿基米德经典例题解题技巧(阿基米德夹逼准则)
“接下来我们来讲一讲夹逼准则”,话音刚落,沉浸在睡梦中的同桌突然惊起,接下来如同多米诺骨牌那样,睡着的同学都醒来了。大家议论纷纷。
“什么?夹逼?我没听错吧!”男生们露出了史上最纯洁的笑容,女生们脸红耳赤,相信耳听为虚,眼见为实,可是她们都希望在课本上眼见的不一定为实。
好了,夹逼准则是怎么来的呢?是谁给他起个这么污的名字?
夹逼准则是阿基米德(Archimedes)和欧多克索斯(Eudoxus)用来计算圆周率π,后来经高斯发展成现在的定理形式。除了夹逼准则和三明治定理外,它还有许多叫法:两边夹定理、夹挤定理、迫敛法、两个警察和醉囚犯定理等,其中夹挤定理应该是最接近它的英文名字了(Squeeze Theorem)。
通过圆内外接正多边形的方法求解π(夹逼准则的思想):
其它不规则图形也可以通过多边形去内外夹逼:
夹逼的关键在于如何降低误差,阿基米德的思路是不断增加顶点数,使得折线多边形不断接近曲线图形。
如下图,对于曲线下面的面积,也可以应用阿基米德的夹逼准则。
曲线下面积的黎曼积分表示是:
符号∫是“求和”(sum)的首字母“S”的拉长;
(a,b)表示求和的区间;
f(x)你可以理解为横坐标取x时,纵坐标值f(x)对应某个长方形的高;
dx是指“求差”(difference),你可以理解为某个长方形的底长;
上式整体包含着这一套符号的使用者莱布尼茨的想法:“积分是指在x=a到b的区间上排列出高等于f(x)、底为dx的长方形,并求出它们的面积之和“。
上面的表达式是一个定值,如果b用x表示,则定值就变成了一个函数:
17世纪,牛顿和莱布尼茨分别独自发现了F(x)与f(x)的互为逆运算的关系:F(x) = f(x)
上式就是微积分基本公式,也称为牛顿-莱布尼茨公式
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