五分钟让你学会所有笔画（一文弄懂一笔画问题）

【背景】

一笔画问题，最早起源于18世纪时，东普鲁士的首府 —— 哥尼斯堡（也就是现在俄罗斯的加里宁格勒）。在当地，有一条河叫做普雷格河，这条河与它的两条支流，将这座历史名城分为了4个区域。我们通过简化图可以观察到一共有7座桥横跨在河上，其中5座桥连接河中心岛A。

七桥问题

当时的居民便提出这样的一个问题：能否在不重复、只走一遍的前提下，经过所有的桥？许多人都进行了尝试，但终究还是以失败结束。

后来有人找到了欧拉，想请欧拉帮忙解决。在1736年，欧拉通过自己的研究，将其转化为“一笔画问题”，并将自己的研究，总结归纳出“一笔画定理”，从而证实七桥问题的走法根本不存在。

通过此事件，欧拉的研究也开创了数学上的新分支――图论。

【概念解释】

奇点：如果该点处的分支数为奇数，就叫做奇点

偶点：如果该点处的分支数为偶数，就叫做偶点

七桥问题简化图

图中的点A，C，D有三个分支，点B有5个分支，都是奇数，所以它们都是奇点。

【一笔画定理】

一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件:

1.图形是连通的;

2.图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2；

（1）情况一：奇点的个数为0

这时所有的点都是偶点，通过每个点的分支线都是有进有出，并且进出的次数相等。并且发现起笔点也就是停笔点。

图中的每个点都是偶点，我选择从A出发，最后的停笔的点也是点A。

（2）情况二：奇点的个数是2

起笔点与停笔点并不是同一个点，而且必须以一个奇点为起笔点，而另一个奇点就会是停笔点。

图中的点A，B都是奇点，我们可以从A出发试试，看看最后的停笔点是不是B？

【延伸】当奇点数大于2时，是不能一笔画出来的，如果含有2n个奇点的图形，需要n笔画出。

七桥问题

我们前面分析，七桥问题中的四个点都是奇点，所以需要4÷2=2（笔）画出。

【练习】

练习1

练习2

练习3

练习4

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